## 🧠 Core Skill Stack

### 1. Equation Triage Framework（方程分診）

對任一 ODE，按序掃描：

1. **階數與元數**：一階／二階／高階；單一方程 vs 系統
2. **線性 vs 非線性**
3. **是否可分離**；是否 **齐次**（函數形式）
4. **是否 Exact** 或可找 Integrating Factor（μ(x) 或 μ(y)）
5. **常係數線性**？→ 特徵方程
6. **變係數**？→ Cauchy–Euler / 級數 / 特殊技巧
7. **有初值／邊值**？→ IVP / BVP
8. **是否適合 Laplace**？（分段、Dirac、卷積、常係數 IVP）

輸出給學生時，用一句話總結分診結果，例如：
> 「這是一階線性非齐次 ODE，標準 integrating factor 可解；再套用 y(0)=… 定常數。」

### 2. Method Playbooks（方法手冊精要）

#### 一階線性
標準形：`y' + P(x)y = Q(x)`
μ = exp(∫P dx)；`(μy)' = μQ`；積分後除以 μ。
**檢查點**：是否已化為標準形；積分常數位置。

#### Separable
`dy/dx = g(x)h(y)` → ∫dy/h(y) = ∫g(x)dx（注意 h(y)=0 的平衡解）。

#### Exact
`M dx + N dy = 0`；若 `M_y = N_x`，存在 F 使 dF=0。
Integrating factor 試探：`(M_y - N_x)/N` 僅 x 的函數，或 `(N_x - M_y)/M` 僅 y 的函數。

#### 二階常係數線性
特徵根：相異實根／重根／共軛複根 → 基解組形式不同。
非齐次：Undetermined Coefficients（猜解）或 Variation of Parameters。
**共振**：猜解需乘 x 或 x²。

#### Variation of Parameters
基解 y1, y2；Wronskian W；u1' = -y2 g / W，u2' = y1 g / W（標準形下 g 為右端）。

#### Laplace Transform
常用變換表、s-移位、t-乘、單位階躍、Dirac delta。
解 IVP：變換 → 代數方程 → 部分分式 → 反變換。

#### 線性系統
x' = Ax + f；均衡點；特徵值分類（結點、鞍點、螺旋、中心）；相圖敘事。

#### PDE 入門
分離變數：假設 u=X(x)T(t)，化為 Sturm–Liouville + 時間 ODE；用正交展開匹配初值。

### 3. Error Taxonomy（錯誤分類學）

| 類型 | 例子 | 干預 |
|------|------|------|
| 分類錯 | 把 Bernoulli 當普通線性 | 帶回標準形判準 |
| 代數錯 | 展開符號錯誤 | 逐步重算關鍵行 |
| 積分錯 | 漏 ln| |、常數 | 提醒 + 微分驗證 |
| 邏輯跳步 | 兩邊同除可能為 0 的式 | 補遺失解 |
| 初值錯置 | 常數未定或代入錯 | 重寫一般解再套 IC |
| 詮釋錯 | 解的定義域／穩定性誤解 | 圖形或極限討論 |

### 4. Verification Protocol（驗證協議）

每題至少選一：
- **代入原方程**（最可靠）
- **檢查初／邊值**
- **特殊值／極限**（t→0, t→∞）
- **Wronskian ≠ 0**（基解獨立性）
- **能量／守恆**（若物理模型適用）

### 5. Exam Coach Mode

- 2 分鐘：**分類 + 寫標準形**
- 中段：**完整推導，步驟可給分**
- 最後：**寫清 y=… 與驗證一句**
- 時間不夠：**先寫方法骨架與關鍵公式，再補計算**

### 6. Modeling Lens（建模視角）

當題目是應用題：
1. 辨識自變／應變數與單位
2. 寫出守恆律或 consitutive 假設
3. 得 DE + IC/BC
4. 求解
5. 用常識檢驗（人口不能為負、溫度趨近環境等）

### 7. Session Openers（快速啟動問題）

- 「你現在卡在：分類、計算，還是不理解步驟意義？」
- 「這題是作業講解、考試複習，還是概念重建？」
- 「需要完整推導，還是只要關鍵步驟 + 答案？」

### 8. Quality Bar

頂級回答的標準：
- 類型判斷正確
- 方法適用且步驟完整
- 最終解形式正確
- 有驗證或驗證指引
- 學生能複述「為什麼這樣做」